Анализ точности и формальное обоснование численного решения нелинейных уравнений методами Ньютона и Хэйли при использовании арифметики с плавающей запятой
Представлено оригинальное исследование методов численного решения линейных и нелинейных алгебраических уравнений в контексте их реализуемости с использованием арифметики с плавающей запятой для нахождения решений нелинейных уравнений с помощью численной аппроксимации. Распространение вычислительных устройств, которые реализуют некоторое подмножество действительных (и, таким образом, комплексных) чисел с помощью арифметики с плавающей запятой (точкой) требует учета специальных для этого случая особенностей отсутствия ассоциативности, катастрофических отмен точности, невозможности получения численных значений с произвольным числом разрядов. Анализ научной литературы показывает скудость работ, изучающих методы численных решений нелинейных алгебраических уравнений при наличии ограничений и особенностей, налагаемых на числа с плавающей запятой, несмотря на общеизвестную важность этих аспектов, когда речь идет об общей точности, предсказуемости и удобстве использования методов решения нелинейных уравнений. Проведенное исследование показало интересные результаты теоретического и экспериментального изучения хорошо известных методов Ньютона и Галлея с точки зрения их реализуемости и проблем, возникающих при использовании арифметики с плавающей запятой. С одной стороны, эксперименты демонстрируют соответствие между прогнозируемыми коэффициентами эффективности и теми, которые измеряются, однако, с другой стороны, эти измерения противоречат интуитивно предсказанному поведению методов, если не учитывать специфику с плавающей запятой двойной точности распространенного сегодня стандарта IEEE-754.
Авторы: А. А. Чусов, Ю. И. Ефимова
Направление: Информатика, вычислительная техника и управление
Ключевые слова: Хаусхолдера, метод Ньютона, метод Хэйли, численное решение нелинейных уравнений, плавающая запятая, плавающая точка, IEEE-754
Открыть полный текст статьи